KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
CẤP THCSNĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150
phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm):
a. Cho
hai số tự nhiên $a,\,b$ thỏa mãn điều kiện: ${{a}^{2}}+a=2{{b}^{2}}+b$.
Chứng minh rằng $a-b$ và $a+b+1$ đều là
các số chính phương.
b. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho số
2015 có thể viết được thành tổng của $n$ hợp số nhưng không thể viết được thành
tổng của $n\,+\,1$ hợp số.
Câu 2. (5 điểm):
a. Giải
phương trình: \[\sqrt{6x-1}+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}=6x-9{{x}^{2}}\].
Câu 3. (3
điểm):
Cho
$a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
$\text{P}\,=\,\dfrac{1}{a+2b+3}+\dfrac{1}{b+2c+3}+\dfrac{1}{c+2a+3}$.
Câu 4. (6 điểm):
Cho
tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng
với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng
minh rằng:
a.
Ba điểm D, E, F thẳng
hàng.
b.
$\dfrac{\text{AB}}{\text{MF}}\text{+}\dfrac{\text{AC}}{\text{ME}}\text{=}\dfrac{\text{BC}}{\text{MD}}$.
Câu 5. (2 điểm):
Cho 121 điểm phân biệt
nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh
rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng $\sqrt{3}$cm chứa ít nhất
11 điểm trong số các điểm đã cho.
..............Hết..............
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 –
2015
Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150
phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm):
a. Tìm
số tự nhiên n sao cho ${{n}^{2}}+119$ là số chính phương.
b. Cho các số nguyên dương $a,\,b,\,c,\,d$thỏa
mãn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\,{{c}^{2}}+\,{{d}^{2}}$
Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp
số .
a. Giải
phương trình: $\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x+2}=3$.
Câu 3. (3
điểm):
Cho
$a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức $\text{P}\,=\,\frac{1}{a+2b+3}+\frac{1}{b+2c+3}+\frac{1}{c+2a+3}$.
Câu 4. (6 điểm):
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tiếp
tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không
trùng với A, O). Gọi M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng
vuông góc với MH, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C, D.
a. Chứng minh AC.BD = AH.BH
Câu 5. (2
điểm):
Cho 121 điểm phân biệt
nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh
rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng $\sqrt{3}$cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các
điểm đã cho.
..............Hết..............
Họ và tên thí
sinh.............................................Số báo danh...........