Toán Tỉnh Nghệ An 2015

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

       KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCSNĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN - BẢNG A

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4 điểm):

a.     Cho hai số tự nhiên $a,\,b$ thỏa mãn điều kiện: ${{a}^{2}}+a=2{{b}^{2}}+b$.

     Chứng minh rằng $a-b$ và $a+b+1$ đều là các số chính phương.

b. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của $n$ hợp số nhưng không thể viết được thành tổng của $n\,+\,1$ hợp số.

Câu 2. (5 điểm):

           a.  Giải  phương trình:  \[\sqrt{6x-1}+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}=6x-9{{x}^{2}}\].

   

           b. Giải hệ phương trình:  

Câu 3. (3 điểm):

          Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$.

          Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$\text{P}\,=\,\dfrac{1}{a+2b+3}+\dfrac{1}{b+2c+3}+\dfrac{1}{c+2a+3}$.

Câu 4. (6 điểm):

          Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC  của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a.     Ba điểm D, E, F thẳng hàng.

b.     $\dfrac{\text{AB}}{\text{MF}}\text{+}\dfrac{\text{AC}}{\text{ME}}\text{=}\dfrac{\text{BC}}{\text{MD}}$.

Câu 5. (2 điểm):

          Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng    $\sqrt{3}$cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

..............Hết..............

            KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN - BẢNG B

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4 điểm):

a.     Tìm số tự nhiên n sao cho ${{n}^{2}}+119$ là số chính phương.

b. Cho các số nguyên dương $a,\,b,\,c,\,d$thỏa mãn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\,{{c}^{2}}+\,{{d}^{2}}$

    Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số .

Câu 2.(5 điểm):

           a.  Giải  phương trình:  $\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x+2}=3$.

   

           b. Giải hệ phương trình: 

Câu 3. (3 điểm):

          Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$

          Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\text{P}\,=\,\frac{1}{a+2b+3}+\frac{1}{b+2c+3}+\frac{1}{c+2a+3}$.

Câu 4. (6 điểm):

 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không trùng với A, O). Gọi M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MH, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C, D.

a. Chứng minh  AC.BD = AH.BH

b. Xác định vị trí của điểm M để tam giác CHD có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5. (2 điểm):

          Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng $\sqrt{3}$cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

..............Hết..............

Họ và tên thí sinh.............................................Số báo danh...........