Môn thi:TOÁN.
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1: (2,5điểm)
Cho biểu thức A = $\left( \frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}
\right):\frac{\sqrt{x}+1}{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}$
a)
Rút gọn biểu thức A.
b)
Tính giá trị của A khi x = $\frac{1}{4}$
.
c) Tìm giá trị của x để A < $\frac{1}{2}$.
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho hàm số y = ax + b, với a, b là hằng số.
a) Tìm giá trị của a, b để đồ thị của hàm số là đường thẳng song song với
đường thẳng y = – 2x + 1 và đi qua điểm M(1 ; – 3).
b)
Hàm số được xác định ở ý a) đồng biến hay
nghịch biến. Hãy vẽ đồ thị hàm số khi đó.
Câu 3: (2 điểm)
Hai người cùng làm chung một công việc thì sau
4 giờ 30 phút họ làm xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó
một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc.
Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng
năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi).
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính
AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC nhỏ hơn BC (C$\ne $A). Tiếp tuyến Bx
của đường tròn (O) cắt đường trung trực của BC tại D.
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến
của đường tròn (O).
b) Gọi E là giao điểm của AD với
đường tròn (O), (với E$\ne $ A).
Chứng minh DE.DA = DC2.
c) Gọi
H là hình chiếu của C trên AB, I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là
trung điểm của CH.
Câu 5: (0,5 điểm)
Chứng minh rằng: $\frac{{{x}^{2}}}{y+1}+\frac{{{y}^{2}}}{z+1}+\frac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge
\frac{3}{2}$ , với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$ .
…………….. Hết ………………
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
|
Ý
|
Nội dung
|
|
Câu 1
(2,5đ)
|
a)
|
ĐKXĐ: $x>0;\,x\ne 1.$
Với $x>0;\,x\ne 1.$, ta có:
A = $\left(
\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{{{\left(
\sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}$
= $\left(
\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}
\right).\frac{{{(\sqrt{x}-1)}^{2}}}{\sqrt{x}+1}$
= $\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}.\frac{{{(\sqrt{x}-1)}^{2}}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$.
Vậy A = $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$.
|
0,25
0,25
0,5
0,25
|
b)
|
Với x = $\frac{1}{4}$ (thỏa mãn đk $x>0;\,x\ne 1.$) thay vào biểu thức A= $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$ ta được:
A= \[\frac{\sqrt{\frac{1}{4}}-1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}}=-1\]
Vậy khi x = $\frac{1}{4}$ thì \[A=-1\]
|
0,25
0,25
|
c)
|
A $<\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{2}$.
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}<0\Rightarrow x<4$(vì $2\sqrt{x}>0$)
Kết hợp với điều kiện x > 0, x $\ne
$ 1
Thì A $<\frac{1}{2}$khi 0 < x < 4 và x $\ne $1.
|
0,25
0,25
0,25
|
Câu 2
(1,5đ)
|
a)
|
Vì đường
thẳng y = ax + b song song với đường thẳng
y = – 2x + 1 nên a = – 2 và b ≠ 1
+ Vì đường thẳng đi qua điểm M nên thay tọa độ điểm
M (1 ; –
3) và a = – 2 vào y = ax + b
Tìm được:
b = – 1 ( thỏa mãn)
Vậy hàm số cần tìm là $y=-2x-1$
|
0,25
0,25
0,25
|
b)
|
Hàm số $y=-2x-1$ có hệ số góc $a=-2<0$ nên nghịch biến.
Đồ thị hàm số cắt
trục Oy tại -1, cắt trục Ox tại $-\frac{1}{2}$ .
HS vẽ hình đúng.
|
0,25
0,25
0,25
|
Câu 3
(2đ)
|
|
Đổi 4 giờ 30 phút bằng $\frac{9}{2}$
giờ; 75% = $\frac{3}{4}$ .
Gọi thời gian người thứ
nhất làm một mình xong công việc là x (giờ) .
Gọi thời gian người thứ
hai làm một mình xong công việc là y (giờ) .
( Đk: x > $\frac{9}{2}$ , y > $\frac{9}{2}$)
Trong 1 gìờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$
(công việc); người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc) ; cả hai người
làm được $\frac{2}{9}$ (công việc) nên ta có phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{9}$
(1)
Vì nếu một
mình người thứ nhất làm trong 4 giờ,sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm
được 75% công việc nên $\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{3}{4}$ (2)
Vậy người thứ nhất một mình làm xong công việc
trong 12 giờ
Người thứ hai một mình làm xong công việc trong $\frac{36}{5}$
giờ, tức là 7giờ 12 phút.
|
0,5
0,75
0,5
0,25
|
Câu 4
(3,5đ)
|
a)
|
- Vẽ hình đúng, ghi GT,
KL
Xét $\text{
}\!\!\Delta\!\!\text{ BCD}$ có DF là đường
trung trực của BC nên
CD = BD
- c/m $\text{
}\!\!\Delta\!\!\text{ OBD}\,\text{=}\,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{
OCD(c}\text{.c}\text{.c)}$
=> $\widehat{\text{OCD}}=\widehat{\text{OBD}}$
Mà $\widehat{\text{OBD}}={{90}^{0}}$ $\Rightarrow
\widehat{\text{OCD}}={{90}^{0}}$mà C thuộc (O)
Suy ra CD là tiếp tuyến
của đường tròn (O)
|
0,5
0,5
0,5
|
|
b)
|
b) - Vì BD là tiếp
tuyến của (O) nên BD $\bot $ OB
=> $\text{
}\!\!\Delta\!\!\text{ ABD}$ vuông tại B
Vì AB là
đường kính của (O) nên AE $\bot $ BE
Áp dụng hệ thức lượng
trong $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ ABD}$
($\widehat{\text{ABD}}\text{=9}{{\text{0}}^{\text{0}}}$;BE
$\bot $ AD) ta có BD2 = DE.DA
Mà DB = CD nên CD2
= DE.DA
|
0,5
0,5
|
|
c)
(1đ)
|
c) Có CH //BD ( cùng vuông góc AB)
=>$\widehat{\text{HCB}}\text{=}\widehat{\text{CBD}}$
(hai góc ở vị trí so le trong) mà
$\text{
}\!\!\Delta\!\!\text{ BCD}$ cân tại D => $\widehat{\text{CBD}}=\widehat{\text{DCB}}$
nên CB là tia phân giác
của $\widehat{\text{HCD}}$
Do CA $\bot $ CB =>
CA là tia phân giác góc ngoài đỉnh C của $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ ICD}$$\Rightarrow
\frac{\text{AI}}{\text{AD}}\text{=}\frac{\text{CI}}{\text{CD}}$ (1)
Trong $\text{
}\!\!\Delta\!\!\text{ ABD}$có HI // BD => $\frac{\text{AI}}{\text{AD}}\text{=}\frac{\text{HI}}{\text{BD}}$ (2)
Từ (1) và (2) => $\frac{\text{CI}}{\text{CD}}\text{=}\frac{\text{HI}}{\text{BD}}$
mà $\text{CD=BD}\Rightarrow \text{CI=HI}$
$\Rightarrow $I là
trung điểm của CH (đpcm).
|
0,5
0,5
|
Câu 5
(0,5đ)
|
|
Vì x, y, z là các số dương nên áp
dụng BĐT Côsi ta có:
\[\frac{{{x}^{2}}}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge
2\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\]
Tương tự $\frac{{{y}^{2}}}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y$ và $\frac{{{z}^{2}}}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge
z$
Nên $\frac{{{x}^{2}}}{y+1}+\frac{{{y}^{2}}}{z+1}+\frac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge
\left( x+y+z \right)-\left( \frac{x+1}{4}+\frac{y+1}{4}+\frac{z+1}{4}
\right)$
$\Leftrightarrow$ $\frac{{{x}^{2}}}{y+1}+\frac{{{y}^{2}}}{z+1}+\frac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge
\frac{3}{4}\left( x+y+z-1 \right)$
$\Leftrightarrow$$\frac{{{x}^{2}}}{y+1}+\frac{{{y}^{2}}}{z+1}+\frac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge
\frac{3}{4}\left( 3\sqrt[3]{xyz}-1 \right)$
$\Leftrightarrow$$\frac{{{x}^{2}}}{y+1}+\frac{{{y}^{2}}}{z+1}+\frac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge
\frac{3}{4}\left( 3-1 \right)=\frac{3}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.
|
0,25
0,25
|
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét