ĐỀ THI HSG HUYỆN TÂN KỲ LỚP 8 NĂM HỌC 2009 – 2010

Môn thi: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (4,0 điểm).

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x² – 7x + 2;                                 b) a(x² + 1) – x(a² + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)

 Cho biểu thức :

$A=(\frac{2+x}{2-x}-\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2-x}{2+x}):(\frac{{{x}^{2}}-3x}{2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}})$

a)     Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

b)    Tìm giá trị của x để A > 0?

c)     Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.

Câu 3: (5,0  điểm)

a)     Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x² + y² + 2z² – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.

b)    Cho $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ và $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$. Chứng minh rằng : $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1$.

Câu 4: (6,0 điểm)

 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a)     Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?  

b)    Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c)     Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC².

--- HẾT ---

HƯỚNG DẪN 

Bài 1

a)     3x² – 7x + 2 = 3x² – 6x – x + 2 =  3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1).

b)    a(x² + 1) – x(a² + 1) = ax² + a – a²x – x = ax(x - a) – (x - a) = (x - a)(ax - 1).

Bài 2

a)      

ĐKXĐ : \[\left\{ \begin{align}

  & 2-x\ne 0 \\

 & {{x}^{2}}-4\ne 0 \\

 & 2+x\ne 0 \\

 & {{x}^{2}}-3x\ne 0 \\

 & 2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}\ne 0 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}

  & x\ne 0 \\

 & x\ne \pm 2 \\

 & x\ne 3 \\

\end{align} \right.\]

$A=(\frac{2+x}{2-x}-\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2-x}{2+x}):(\frac{{{x}^{2}}-3x}{2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}})=\frac{{{(2+x)}^{2}}+4{{x}^{2}}-{{(2-x)}^{2}}}{(2-x)(2+x)}.\frac{{{x}^{2}}(2-x)}{x(x-3)}=$

\[\frac{4{{x}^{2}}+8x}{(2-x)(2+x)}.\frac{x(2-x)}{x-3}=\]$\frac{4x(x+2)x(2-x)}{(2-x)(2+x)(x-3)}=\frac{4{{x}^{2}}}{x-3}$

Vậy với $x\ne 0,x\ne \pm 2,x\ne 3$ thì  $A=\frac{\text{4}{{\text{x}}^{2}}}{x-3}$.

b)    Với $x\ne 0,x\ne 3,x\ne \pm 2:A>0\Leftrightarrow \frac{4{{x}^{2}}}{x-3}>0$\[\Rightarrow x-3>0\]\[\Rightarrow x>3(TMDKXD)\]

Vậy với x > 3 thì A > 0.

c)        \[\left| x-7 \right|=4\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

d)      & x-7=4 \\

e)      & x-7=-4 \\

f)      \end{align} \right.\]        \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

g)       & x=11(TMDKXD) \\

h)     & x=3(KTMDKXD) \\

i)       \end{align} \right.\]

Với x = 11 thì A = $\frac{121}{2}$

Bài 3

9x² + y² + 2z² – 18x + 4z - 6y + 20 = 0     

\[\Leftrightarrow\] (9x² – 18x + 9) + (y² – 6y + 9) + 2(z² + 2z + 1) = 0

\[\Leftrightarrow\] 9(x - 1)² + (y - 3)² + 2 (z + 1)² = 0 (*)

Do : ${{(x-1)}^{2}}\ge 0;{{(y-3)}^{2}}\ge 0;{{(z+1)}^{2}}\ge 0$

Nên : (*)$\Leftrightarrow$ x = 1; y = 3; z = -1. Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

Từ :     $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Leftrightarrow \frac{\text{ayz+bxz+cxy}}{xyz}=0$          \[\Leftrightarrow\] ayz + bxz + cxy = 0

Ta có :           $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow {{(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})}^{2}}=1$     \[\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}+2(\frac{xy}{ab}+\frac{xz}{ac}+\frac{yz}{bc})=1\]

\[\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}+2\frac{cxy+bxz+ayz}{abc}=1\] \[\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1(dfcm)\]

Bài 4

a)     Ta có : BE$\bot$AC (gt); DF$\bot$AC (gt) => BE // DF

Chứng minh : $\Delta BEO=\Delta DFO(g-c-g)$

$\Rightarrow $ BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.

b)    Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\Rightarrow \widehat{HBC}=\widehat{KDC}$

Chứng minh : $\Delta CBH\sim \Delta CDK(g-g)$

\[\Rightarrow \frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}\Rightarrow CH.CD=CK.CB\]

c)     Chứng minh : $\Delta \text{AF}D\sim \Delta AKC(g-g)$

$\Rightarrow \frac{\text{AF}}{AD}=\frac{AK}{AC}\Rightarrow AD.AK=\text{A}F.AC$

Chứng minh : $\Delta CFD\sim \Delta AHC(g-g)$

$\Rightarrow \frac{CF}{CD}=\frac{AH}{AC}$

Mà : CD = AB $\Rightarrow \frac{CF}{AB}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AB.AH=CF.AC$

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC  =  (CF + AF)AC = AC² (đfcm).