Đề thi KĐCL HSG lớp 6 Tân Kỳ năm học 2012 - 2013

ĐỀ THI KĐCL HỌC SINH GIỎI. NĂM HỌC: 2012 - 2013

Môn thi: TOÁN 6

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

 

Câu 1.  (2,0 điểm) 

a. Cho $A=\dfrac{2}{11.15}+\dfrac{2}{15.19}+\dfrac{2}{19.23}+...+\dfrac{2}{51.55};$

$B=\left( -\dfrac{5}{3} \right)\cdot \dfrac{11}{2}\cdot \left( \dfrac{1}{3}+1 \right)$

Tính tích: $A.B$.

b. Chứng tỏ rằng các số tự nhiên có dạng: $\overline{abcabc}$ chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố.

Câu 2. (2,0 điểm)                                                                                                    

a. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho chia nó cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, cho 7 ta được các số dư theo thứ tự là: 1; 2; 3; 4; 5;                         

b. Tìm số nguyên a để 2a + 1 chia hết cho a - 5;

Câu 3. (2,5 điểm) 

a.     Tìm $x$ biết: $\left| 5-x \right|+1=4$

b.     Tìm các số nguyên x; y sao cho: $\dfrac{y}{3}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}$.

c.      Tìm số tự nhiên a và b biết: a - b = 5 và  $\dfrac{\left( a,b \right)}{\left[ a,b \right]}=\dfrac{1}{6}$

Câu 4. (1,0 điểm) 

Cho $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ sao cho $a+1$ và $2a+1$là các số chính phương. Hỏi số $a$ có chia hết cho 24 không?

(Biết rằng số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên)

Câu 5.  (2,5 điểm) 

Vẽ hai tia đối nhau Ox và Oy,trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1cm; OB = 4cm.

a.     Chứng tỏ điểm M nằm giữa nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b.     Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho $\widehat{tOy}={{130}^{0}}$; $\widehat{zOy}=30^0$. Tính số đo $\widehat{tOz}$.

Hết./.

Họ và tên:................................................Số báo danh:....................................................

Đề kiểm định chất lượng HSG lớp 6 Tân Kỳ 2011 - 2012

ĐỀ THI KĐCL HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 - 2012

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Môn thi: TOÁN 6

 

Câu 1.  (6,0 điểm) 

a) Tính nhanh tổng $A$ biết $A=1+(-2)+3+(-4)+...+(-2010)+2011+(-2012)$.

b) Tìm $a,b\in \mathbb{N}$ biết $UCLN(a,b)=20$ và $BCNN(a,b)=420$.

c) Chứng minh rằng: ${10}^{2011}+{100}^{2012}+16\vdots 9$

Câu 2. (4,0 điểm) 

Tìm $x$ biết:

a)  $\dfrac{3}{2}.\left( x-\dfrac{3}{4} \right)-\dfrac{4}{7}=\dfrac{1}{8}$  .

b) $\overline{2x78}\vdots 13$.

Câu 3. (4,5 điểm) 

a)     Cho $p$ và $8p-1$ là các số nguyên tố. Hỏi $8p+1$ là hợp số hay số nguyên tố? Vì sao?

b)    Chứng tỏ rằng $\dfrac{6n+5}{16n+13}$ là phân số tối giản với mọi $n\in Z$.

Câu 4. (4,5 điểm) 

Cho $\widehat{aOb}$. Gọi Oc là tia phân giác của $\widehat{aOb}$, Od là tia phân giác của $\widehat{aOc}$.

a)     Cho biết $\widehat{aOb}={{140}^{0}}$. Tính số đo của $\widehat{aOd}$

b)    Tìm giá trị lớn nhất của $\widehat{aOd}$

Câu 5.  (1,5 điểm) 

Bạn An khẳng định rằng trong các ngày thứ Hai, thứ Tư, và thứ Sáu luôn nói thật còn các ngày khác trong tuần luôn nói dối. Một hôm bạn An nói rằng: “Hôm qua tôi đã nói thật”. Vậy hôm đó là thứ mấy? Vì sao?

Thật là đẹp và bình yên!

Một vài bài tập về tính tổng!

* Bµi to¸n më ®Çu vµ mét sè d·y sè ®¬n gi¶n :

1) Bµi to¸n 1. TÝnh :

                                A = 1.2  +  2.3  +  3.4  +  …  +  99.100

§Ó tÝnh A ta biÕn ®æi A ®Ó xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau. Muèn vËy ta cÇn t¸ch mét thõa sè trong mçi h¹ng tö thµnh mét hiÖu : a = b  -  c

Gi¶i:

 3A = 1.2.3  +  2.3.3  +  3.4.3  +  … +  99.100.3

       = 1.2.3  +  2.3.(4  -  1)  +  3.4.(5  -  2)  +  …  +  99.100. (101  -  98)

       = 1.2.3  +  2.3.4  -  1.2.3  +  3.4.5 - 2.3.4  + … +  99.100.101 -  98.99.100

                 = 99.100.101

         $\Rightarrow $ A = 33.100.101 = 333 300

2) Mét sè d·y sè dÔ dµng tÝnh ®­îc

1  +  2  + 3  +  … +  n

a  +  (a  +  k)  +  (a  +  2k)  +  … +  (a +  nk) k lµ h»ng sè

* Khai th¸c bµi to¸n 1

Trong bµi to¸n 1 . C¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö h¬n kÐm nhau 1 hay c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ. Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ta cã bµi to¸n 2.

Bµi to¸n 2 . TÝnh :

                                   A = 1.3  +  3.5  +  5.7  + … +  97.99

Gi¶i

6A = 1.3.6  +  3.5.6  +  5.7.6  +  … +  97.99.6

      = 1.3.(5  +  1)  +  3.5.(7 - 1)  +  5.7(9 - 3)  + … +  97.99(101  -  95)

                = 1.3.5  +  1.3  +  3.5.7  -  1.3.5  +  5.7.9  -  3.5.7  + …

                     +  97.99.101  -  95.97.99

                = 1.3.5  +  3  +  3.5.7  -  1.3.5  +  5.7.9  -  3.5.7  + …

                     +  97.99.101  -  95.97.99

      = 3  +  97.99.101

$A=\dfrac{1+97.33.101}{2}$  

          = 161 651

                    Trong bµi to¸n 1 ta nh©n A víi 3 (a = 3) . Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A víi 6 (a  = 6). Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch gi÷a 2 thõa sè trong mçi h¹ng tö.

3k n(n  +  k) = n(n  +  k)(r  +  2k)  -  (n  -  k) n (n  +  k)

Thay ®æi sè c¸c thõa sè trong tÝch ta cã bµi to¸n 3

Bµi to¸n 3 :

                      TÝnh A = 1.2.3  + 2.3.4  + … +  98.99.100

Gi¶i :

4A = 1.2.3.4  +  2.3.4.4  +  3.4.5.4  + … +  98.99.100.4

                = 1.2.3.4  +  2.3.4(5  -  1)  +  3.4.5(6  -  2)  + … +  98.99.100(101  -  97)

                 = 1.2.3.4  +  2.3.4.5  -  1.2.3.4  +  3.4.5.6  -  2.3.4.5  + …

                       +  98.99.100.101  -  97.98.99.100

                 = 98.99.100.101

    $\Rightarrow $ A = 98.99.25.101

            = 24 497 550

Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ë bµi 3 ta cã bµi to¸n:

Bµi to¸n 4 : TÝnh :

                               A = 1.3.5  +  3.5.7  + … +  5.7.9  + … +  95.97.99

Gi¶i :

8A = 1.3.5.8  +  3.5.7.8  +  5.7.9.8  + … +  95.97.99.8

                = 1.3.5(7 + 1)  +  3.5.7(9 - 1)  +  5.7.9(11 - 3)  + … +  95.97.99(101 - 93)

                = 1.3.5.7 + 15  +  3.5.7.9  -  1.3.5.7  +  5.7.9.11 -  3.5.7.9  + …

                     +  95.97.99.101 - 93.95.97.99

                = 15 + 95.97.99.101

       $A=\dfrac{15+95.97.99.101}{8}$

                = 11 517 600

Trong bµi 3 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Trong bµi 4 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Nh­ vËy ®Ó gi¶i bµi to¸n d¹ng $\sum\limits_{n=1}^{n}{n(n+k)(n+2k)}$ ta nh©n víi 4k (4 lÇn kho¶ng c¸ch) sau ®ã t¸ch

       4kn(n  +  k)(n  +  2k) = n(n  +  k)(n  +  2k)(n  +  3k)  -  (n  -  k)(n  +  k)n(n  +  2k)

Thay ®æi sù kÕ tiÕp lÆp l¹i ë c¸c thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã bµi to¸n:

Bµi to¸n 5 : TÝnh

                                    A = 1.2  +  3.4  +  5.6  + … +  99.100

Gi¶i

A = 2  +  ( 2+ 1).4  +  ( 4 +  1)6  + … +  (98  + 1).100

    = 3  +  2.4 + 4  +  4.6 + 6 + … +  98.100  +  100

    = (2.4 +  4.6 + … +  98.100 )  +  (2  +  4  +  6  +  8  + … +  100)

    = 98.100.102 : 6 + 102.50:2

    = 166600 + 2550

    = 169150

    C¸ch kh¸c

A = 1.(3  -  1)  +  3(5  -  1)  +  5(7  -  1)  + … +  99(101  -  1)

    = 1.3  -  1  +  3.5  -  3  +  5.7  -  5  + … +  99.101  -  99

    = (1.3  +  3.5  +  5.7  + … +  99.101)  -  (1  +  3  +  5  +  7  + … +  99)

    =  171650 – 2500

    = 169150

Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè h¹ng mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong tÝch lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc. Lµm t­¬ng tù víi c¸c bµi to¸n:

Bµi to¸n 6 : TÝnh

                                     A = 1²  +  2²  +  3²  +  4²  + … +  100²

Gi¶i :

A = 1  +  2(1  +  1)  +  3(2  +  1)  +  4(3  +  1)  + … +  100(99  +  1)

    = 1  +  1.2  +  2  +  2.3  +  3  +  3.4  +  4  + … +  99.100  +  100

    = (1.2  +  2.3  +  3.4  + … +  99.100)  +  ( 1  +  2  +  3  + … +  100)

    = 333300 + 5050

    = 338350

Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè trong bµi 6 ta cã bµi to¸n:

Bµi to¸n 7: TÝnh

                               A = 1²  +  3²  +  5²  + … +  99²

Gi¶i :

A= 1  +  3(2  +  1)  +  5(2  +  3)  +  7(2  +  5)  +  …  +  99(2  +  97)

   = 1  +  2.3  +  1.3  +  2.5  +  3.5  +  2.7  +  5.7  + … +  2.99  +  97.99

              = 1  +  2(3  +  5  +  7  + … +  99)  +  (1.3 + 3.5 + 5.7  + … +  97.99)

              = 1 + 4998 + 161651

              = 166650

     Trong bµi to¸n 5 vµ 7 cã thÓ sö dông : (n - a)(n  +  a) = n² - a²

$\Rightarrow $ n² = (n - a)(n + a)  +  a²

a lµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè

          Bµi to¸n 8   TÝnh

                                           A = 1.2.3  + 3.4.5  + 5.6.7 + … +  99.99.100

         Gi¶i :

       A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 – 3)

           = ( 1.3.5  +  3.5.7  + … +  5.7.9  + … +  99.101.103 )

               – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 )

            = ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101)

            = 13517400 – 3.171650

            =  13002450

         

     Thay ®æi sè mò cña bµi to¸n 7 ta cã bµi to¸n:

Bµi to¸n 9 : TÝnh

                                A = 1³  +  2³  +  3³  +  … +  100³

    Gi¶i

 Sö dông : (n - 1)n(n + 1) = n³ - n

     n³ = n  +  (n - 1)n(n + 1)

 A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101

         = (1 + 2 + 3 + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101)

        = 5050 + 101989800 = 101994850

Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè ë bµi to¸n 8 ta cã bµi to¸n .

Bµi to¸n 10: TÝnh

                                A = 1³ + 3³ + 5³ + … + 99³

Gi¶i : Sö dông (n - 2)n(n + 2) = n³ - 4n

 n³ = (n - 2)n(n + 2) + 4n

 A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99

         = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + … + 99)

         = 1 + 12487503 + 9996 = 12497500

Víi kho¶ng c¸ch lµ a ta t¸ch : (n - a)n(n + a) = n³ - a²n.

ë bµi to¸n 8, 9 ta cã thÓ lµm nh­ bµi to¸n 6, 7.

Thay ®æi sè mò cña mét thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã:

 Bµi to¸n 11: TÝnh

A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + … + 99.100²

Gi¶i :

A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1)

   = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100

   = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100)

   = 25497450 – 333300

   = 25164150

Víi c¸ch khai th¸c nh­ trªn ta cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n trªn thµnh rÊt nhiÒu bµi to¸n hay mµ trong qu¸ tr×nh gi¶i ®ßi hái häc sinh ph¶i cã sù linh ho¹t, s¸ng t¹o.

Trong c¸c bµi to¸n trªn ta cã thÓ thay ®æi sè h¹ng cuèi cïng cña d·y b»ng sè h¹ng tæng qu¸t theo quy luËt cña d·y.

*VËn dông c¸ch gi¶i trªn h·y gi¶i c¸c bµi to¸n sau:

                  

                    1. TÝnh     A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50

                    2. TÝnh     B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101   

                    3  TÝnh    C =  1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101

4. TÝnh    D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51

5. TÝnh    E = 1.3³ + 3.5³ + 5.7³ + … + 49.51³

6. TÝnh    F = 1.99² + 2.98² + 3.97² + … + 49.51²

Bất đẳng thức Cô – si bậc 3 bậc 4 không có dấu căn

Chứng minh bất đẳng thức Cô – si bậc 3 bậc 4 không có dấu căn cho lớp 8:

1.     Dễ chứng minh bất đẳng thức ${{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)}^{2}}\ge ab$ với $a,b\ge0$

2.     Áp dụng  ta chứng minh bất đẳng thức ${{\left(\dfrac{ a+b+c+d }{4}\right)}^{4}}\ge abcd$.

Ta có \[{{\left( \dfrac{a+b+c+d}{4} \right)}^{4}}={{\left( \dfrac{\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2}}{2} \right)}^{2.2}}\ge {{\left( \dfrac{a+b}{2}.\dfrac{c+d}{2} \right)}^{2}}\ge abcd\] (Hai lần liên tiếp áp dụng bất đẳng thức thứ nhất). Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=d$.

3.     Áp dụng bất đẳng thức 2 ta chứng minh bất đẳng thức: ${{\left( \dfrac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}\ge abc$

Ta có ${{\left( \dfrac{a+b+c}{3} \right)}^{4}}={{\left( \dfrac{a+b+c+\dfrac{a+b+c}{3}}{4} \right)}^{4}}\ge abc\dfrac{a+b+c}{3}$. Chia hai vế cho $\dfrac{a+b+c}{3}$  là số dương ta được bất đẳng thức cần chứng minh. (Trường hợp $a=b=c=0$ bất đẳng thức hiển nhiên đúng). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Một bài tìm GTNN.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $B=\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}$ , với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$

Lời giải:

Cách 1: Vì x, y, z là các số dương nên áp dụng BĐT Côsi ta có:

$\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{y+1}{4}\ge 2\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}.\dfrac{y+1}{4}}=x$

Tương tự                        $\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{z+1}{4}\ge y$  và $\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}+\dfrac{x+1}{4}\ge z$

Nên $B=\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge \left( x+y+z \right)-\left( \dfrac{x+1}{4}+\dfrac{y+1}{4}+\dfrac{z+1}{4} \right)$

$\Leftrightarrow $ $B=\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge \dfrac{3}{4}\left( x+y+z-1 \right)$

$\Leftrightarrow $$B=\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge \dfrac{3}{4}\left( 3\sqrt[3]{xyz}-1 \right)$

$\Leftrightarrow $$B=\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge \dfrac{3}{4}\left( 3-1 \right)=\dfrac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$ .

Kết luận: \[\min \,B=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\] .

Cách 2: Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Bunhiacopski $\dfrac{{{a}^{2}}}{m}+\dfrac{{{b}^{2}}}{n}+\dfrac{{{c}^{2}}}{p}\ge \dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{m+n+p}$, với m, n, p dương  cho các bộ số x, y, z và y +1, z +1, x +1

Ta có $B=\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge \dfrac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{x+y+z+3}$

$\Leftrightarrow $ $B=\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge \dfrac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{2\left( x+y+z \right)}$, (với chú ý là $x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}=3$, BĐT Côsi ).

$\Leftrightarrow $$B=\dfrac{{{x}^{2}}}{y+1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+1}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+1}\ge \dfrac{x+y+z}{2}\ge \dfrac{3}{2}$ (lại với chú ý là $x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}=3$ ).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$ .

Kết luận $$\min \,B=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1.$$

(Chứng minh Hệ quả: $\dfrac{{{a}^{2}}}{m}+\dfrac{{{b}^{2}}}{n}+\dfrac{{{c}^{2}}}{p}\ge \dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{m+n+p}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho hai bộ số: $\dfrac{{{a}^{2}}}{m},\,\,\dfrac{{{b}^{2}}}{n},\,\,\dfrac{{{c}^{2}}}{p}$ và $m,\,\,n,\,\,p>0$ ta có:

\[\left( \frac{{{a}^{2}}}{{{\left( \sqrt{m} \right)}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{\left( \sqrt{n} \right)}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{\left( \sqrt{p} \right)}^{2}}} \right)\left( {{\left( \sqrt{m} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{n} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{p} \right)}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b+c \right)}^{2}}\]

$\Leftrightarrow $ $\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{m}+\dfrac{{{b}^{2}}}{n}+\dfrac{{{c}^{2}}}{p} \right)\left( m+n+p \right)\ge {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$ . Vì $m,\,\,n,\,\,p>0$ nên suy ra $\dfrac{{{a}^{2}}}{m}+\dfrac{{{b}^{2}}}{n}+\dfrac{{{c}^{2}}}{p}\ge \dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{m+n+p}$)

Đề KSLC học kì I năm học 2013 - 2014

           


           PHÒNG GD&ĐT TÂN KÌ    

                                                                       ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CUỐI HỌC KỲ I
                                                                                                  NĂM HỌC 2013 – 2014

                                                      MÔN TOÁN LỚP 8

    Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề).

Câu 1: (1,5 điểm).
Rút gọn các biểu thức:
a) 4x²y : 2xy;        b) x(x + y) + y(y – x);        c) (2x + y)² – 4x² – y².

Câu 2: (1,5 điểm).

          Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3x² – 6x;           b) x(x – 2) + 3x – 6;                c) 2x² – 7x + 5.

Câu 3: (2,5 điểm).

          Cho biểu thức:      A = $\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}.\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x+3}+\dfrac{9x+9}{{{x}^{2}}-9}$.

          a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A.

          b) Tính giá trị của biểu thức A khi |x – 1| = 4.

Câu 4: (4 điểm).

Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, G, H thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

a)     Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

b)    Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình vuông.

c)     Gọi M là điểm thay đổi trong tam giác ABC sao cho tổng diện tích của hai tam giác AMB và BMC bằng diện tích tam giác AMC. Hỏi M di chuyển trên đường nào?

Câu 5: (0,5 điểm).

          Cho   x + y + z  = 2013 và  $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$.

Tìm giá trị của biểu thức:                   B = x² + y² + z² .

……….HẾT……….

Tóm tắt lời giải

Câu 1 (1,5 điểm).

Rút gọn các biểu thức:

a) 4x²y : 2xy = 2x;        

b) x(x + y) + y(y – x)

= x² + xy + y² – xy = x² + y² ;          

c) (2x + y)² – 4x² – y²

= 4x² + 4xy + y² – 4x² – y² = 4xy.

          

Câu 2: (1,5 điểm).

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3x² – 6x = 3x(x – 2);          

b) x(x – 2) + 3x – 6

     = x(x – 2) + 3(x – 2)

     = (x – 2)(x + 3);                 

c)2x² – 7x + 5

     = 2x² – 2x – 5x + 5

    = 2x(x – 1) – 5(x – 1)

    = (x – 1)(2x – 5)

.

Câu 3: (2,5 điểm).        

          a) ĐKXĐ x ≠ ± 3.

Với ĐKXĐ x ≠ ± 3 thì

A = $\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}.\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x+3}+\dfrac{9x+9}{{{x}^{2}}-9}$ 

= $\dfrac{x}{x+3}+\dfrac{9x+9}{{{x}^{2}}-9}$

  
 =  $\dfrac{x(x-3)+9x+9}{(x+3)(x-3)}$ 

= $\dfrac{{{x}^{2}}-3x+9x+9}{(x+3)(x-3)}$

  
 = $\dfrac{{{x}^{2}}+6x+9}{(x+3)(x-3)}$ 

= $\dfrac{{{(x+3)}^{2}}}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{x+3}{x-3}$. 

Vậy A  = $\dfrac{x+3}{x-3}$.

          b) Khi |x – 1| = 4 thì x -1 = 4 hoặc x-1 = - 4

                   nên  x = 5 (thỏa mãn ĐKXĐ)

                   hoặc x = - 3 ( không thỏa mãn ĐKXĐ, loại).

Với x = 5 thì giá trị của A là:

                             A = \[\dfrac{x+3}{x-3}=\dfrac{5+3}{5-3}=4\]

         

Câu 4: (4 điểm).

Vẽ hình đúng

GT – KL.

a)Vì E, F thứ tự là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.Suy ra EF//AC.

Tương tự cho tam giác ADC ta có GH//AC.

Cho nên EF//GH.                                                 (1)

Tương tự cũng có EH//GF                           (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra EFGH là hình bình hành.

b) Hình bình hành EFGH là hình vuông khi nó vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Từ a) ta cũng có EF  = $\dfrac{1}{2}$ AC, FG = $\dfrac{1}{2}$BD

Hình bình hành EFGH là hình thoi khi hai cạnh kề bằng nhau, chẳng hạn EF = FG $\Leftrightarrow $ AC = BD.

Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật khi có  một góc vuông, chẳng hạn $\widehat{EFG}=1v$ $\Leftrightarrow $EF $\bot $ FG $\Leftrightarrow $ AC $\bot $BD (Vì EF//AC, FG//BD).

Kết luận tứ giác EFGH là hình vuông khi AC $\bot $BD và AC = BD.

c) Hạ các đường cao AP, CQ của các tam giác ABM, BCM, thì chúng thứ tự cũng là đường cao của các tam giác AMN, CMN ( với N là giao của BM và AC).

Khi đó S_ABM + S_BCM = S_AMC = S_AMN + S_CMN.

Hay $\dfrac{1}{2}$AP.BM + $\dfrac{1}{2}$CQ.BM = $\dfrac{1}{2}$AP.MN + $\dfrac{1}{2}$CQ.MN

$\Leftrightarrow $$\dfrac{1}{2}$BM(AP + CQ) = $\dfrac{1}{2}$MN(AP + CQ)

$\Leftrightarrow $ BM = MN.

$\Leftrightarrow $ EM là đường trung bình tam giác ABN

$\Leftrightarrow $ EM //AC  $\Leftrightarrow $M thuộc EF (vì EF//AC).

Vậy khi S_ABM + S_BCM = S_AMC thì M chạy trên đoạn EF.

Câu 5: (0,5 điểm).

Ta có:  $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Leftrightarrow \dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0$

          Và x + y + z  = 2013 $\Rightarrow $ (x + y + z)² = 2013²

          $\Leftrightarrow $  x² + y² + z² + 2(xy + yz +zx) = 2013². Thay      $xy+yz+zx=0$ vào ta có:  x² + y² + z² = 2013²

              Vậy B = x² + y² + z² = 2013²    (= 4 052 169)