Bất đẳng thức Cô – si bậc 3 bậc 4 không có dấu căn

Chứng minh bất đẳng thức Cô – si bậc 3 bậc 4 không có dấu căn cho lớp 8:

1.     Dễ chứng minh bất đẳng thức ${{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)}^{2}}\ge ab$ với $a,b\ge0$

2.     Áp dụng  ta chứng minh bất đẳng thức ${{\left(\dfrac{ a+b+c+d }{4}\right)}^{4}}\ge abcd$.

Ta có \[{{\left( \dfrac{a+b+c+d}{4} \right)}^{4}}={{\left( \dfrac{\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2}}{2} \right)}^{2.2}}\ge {{\left( \dfrac{a+b}{2}.\dfrac{c+d}{2} \right)}^{2}}\ge abcd\] (Hai lần liên tiếp áp dụng bất đẳng thức thứ nhất). Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=d$.

3.     Áp dụng bất đẳng thức 2 ta chứng minh bất đẳng thức: ${{\left( \dfrac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}\ge abc$

Ta có ${{\left( \dfrac{a+b+c}{3} \right)}^{4}}={{\left( \dfrac{a+b+c+\dfrac{a+b+c}{3}}{4} \right)}^{4}}\ge abc\dfrac{a+b+c}{3}$. Chia hai vế cho $\dfrac{a+b+c}{3}$  là số dương ta được bất đẳng thức cần chứng minh. (Trường hợp $a=b=c=0$ bất đẳng thức hiển nhiên đúng). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.