* Bµi to¸n më
®Çu vµ mét sè d·y sè ®¬n gi¶n :
1) Bµi to¸n 1. TÝnh :
A = 1.2 +
2.3 + 3.4
+ … +
99.100
§Ó tÝnh A ta biÕn ®æi A ®Ó xuÊt
hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau. Muèn vËy ta cÇn t¸ch mét thõa sè trong mçi h¹ng tö
thµnh mét hiÖu : a = b - c
Gi¶i:
3A = 1.2.3
+ 2.3.3 +
3.4.3 + … + 99.100.3
= 1.2.3
+ 2.3.(4 -
1) + 3.4.(5
- 2) + … +
99.100. (101 - 98)
= 1.2.3
+ 2.3.4 -
1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4
+ … + 99.100.101 - 98.99.100
= 99.100.101
$\Rightarrow
$ A = 33.100.101 = 333
300
2) Mét sè d·y sè dÔ dµng tÝnh ®îc
1 +
2 + 3 + … + n
a +
(a + k)
+ (a +
2k) + … + (a +
nk) k lµ h»ng sè
* Khai th¸c
bµi to¸n 1
Trong bµi to¸n 1 . C¸c thõa sè
trong mçi h¹ng tö h¬n kÐm nhau 1 hay c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ. Thay ®æi kho¶ng c¸ch
gi÷a c¸c thõa sè trong mçi h¹ng tö ta cã bµi to¸n 2.
Bµi to¸n 2 . TÝnh :
A = 1.3 +
3.5 + 5.7 + … + 97.99
Gi¶i
6A = 1.3.6 +
3.5.6 + 5.7.6
+ … + 97.99.6
= 1.3.(5
+ 1) +
3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3)
+ … + 97.99(101 - 95)
= 1.3.5 +
1.3 + 3.5.7
- 1.3.5 +
5.7.9 - 3.5.7
+ …
+ 97.99.101
- 95.97.99
= 1.3.5 +
3 + 3.5.7
- 1.3.5 +
5.7.9 - 3.5.7
+ …
+ 97.99.101 -
95.97.99
= 3
+ 97.99.101
$A=\dfrac{1+97.33.101}{2}$
= 161 651
Trong bµi to¸n 1 ta nh©n A víi 3 (a = 3) . Trong bµi to¸n 2 ta nh©n A
víi 6 (a = 6). Ta cã thÓ nhËn thÊy ®Ó
lµm xuÊt hiÖn c¸c h¹ng tö ®èi nhau ta nh©n A víi 3 lÇn kho¶ng c¸ch gi÷a 2 thõa
sè trong mçi h¹ng tö.
3k n(n + k) =
n(n +
k)(r + 2k)
- (n - k) n
(n +
k)
Thay ®æi sè c¸c thõa sè trong
tÝch ta cã bµi to¸n 3
Bµi to¸n 3 :
TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4
+ … + 98.99.100
Gi¶i :
4A = 1.2.3.4 +
2.3.4.4 + 3.4.5.4
+ … + 98.99.100.4
=
1.2.3.4 + 2.3.4(5
- 1) +
3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101
- 97)
=
1.2.3.4 + 2.3.4.5
- 1.2.3.4 +
3.4.5.6 - 2.3.4.5
+ …
+ 98.99.100.101 -
97.98.99.100
=
98.99.100.101
$\Rightarrow
$ A = 98.99.25.101
= 24
497 550
Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c
thõa sè trong mçi h¹ng tö ë bµi 3 ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 4 : TÝnh :
A = 1.3.5 +
3.5.7 + … + 5.7.9
+ … + 95.97.99
Gi¶i :
8A = 1.3.5.8 +
3.5.7.8 + 5.7.9.8
+ … + 95.97.99.8
=
1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1)
+ 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93)
= 1.3.5.7 + 15 +
3.5.7.9 - 1.3.5.7
+ 5.7.9.11 - 3.5.7.9
+ …
+ 95.97.99.101 - 93.95.97.99
= 15 + 95.97.99.101
$A=\dfrac{15+95.97.99.101}{8}$
= 11 517 600
Trong bµi 3 ta nh©n A víi 4 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch).
Trong bµi 4 ta nh©n A víi 8 (bèn lÇn kho¶ng c¸ch). Nh
4kn(n +
k)(n + 2k) = n(n
+ k)(n +
2k)(n + 3k)
- (n -
k)(n + k)n(n
+ 2k)
Thay ®æi sù kÕ tiÕp lÆp l¹i ë
c¸c thõa sè trong bµi to¸n 1 ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 5 : TÝnh
A =
1.2 +
3.4 + 5.6 + … + 99.100
Gi¶i
A = 2 + ( 2+
1).4 +
( 4 + 1)6 + … + (98 +
1).100
= 3
+ 2.4 + 4 + 4.6
+ 6 + … + 98.100
+ 100
= (2.4 +
4.6 + … + 98.100 ) +
(2 + 4
+ 6 + 8 + … + 100)
=
98.100.102 : 6 + 102.50:2
= 166600
+ 2550
= 169150
C¸ch kh¸c
A = 1.(3 -
1) + 3(5
- 1) +
5(7 - 1) + … + 99(101
- 1)
= 1.3
- 1 +
3.5 - 3
+ 5.7 -
5 + … + 99.101
- 99
= (1.3
+ 3.5 +
5.7 + … + 99.101)
- (1 +
3 + 5
+ 7 + … + 99)
= 171650 – 2500
= 169150
Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng
nh©n A víi mét sè h¹ng mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong tÝch lµm xuÊt hiÖn c¸c
d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®îc. Lµm t¬ng tù víi c¸c bµi
to¸n:
Bµi to¸n 6 : TÝnh
A = 12
+
22 + 32 + 42
+ … + 1002
Gi¶i :
A = 1 +
2(1 + 1)
+ 3(2 +
1) + 4(3
+ 1) + … + 100(99
+ 1)
= 1
+ 1.2 +
2 + 2.3
+ 3 +
3.4 + 4 + … + 99.100
+ 100
= (1.2
+ 2.3 +
3.4 + … + 99.100)
+ ( 1 +
2 + 3 + … + 100)
=
333300 + 5050
= 338350
Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬
sè trong bµi 6 ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 7: TÝnh
A = 12 + 32
+
52 + … + 992
Gi¶i :
A= 1 +
3(2 + 1)
+ 5(2 +
3) + 7(2
+ 5) + … +
99(2 + 97)
= 1
+ 2.3 +
1.3 + 2.5
+ 3.5 +
2.7 + 5.7 + … + 2.99
+ 97.99
=
1 +
2(3 + 5 + 7 + … + 99)
+ (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99)
= 1 + 4998 + 161651
= 166650
Trong bµi
to¸n 5 vµ 7 cã thÓ sö dông : (n - a)(n
+ a) = n2 - a2
$\Rightarrow
$ n2 = (n -
a)(n + a) + a2
a lµ kho¶ng c¸ch
gi÷a c¸c c¬ sè
Bµi
to¸n 8 TÝnh
A = 1.2.3
+ 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100
Gi¶i
:
A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9
-3) + … + 99.101.( 103 – 3)
= ( 1.3.5
+ 3.5.7 + … + 5.7.9
+ … + 99.101.103 )
–
( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 )
= ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 +
5.7 +… + 99.101)
= 13517400 – 3.171650
= 13002450
Thay
®æi sè mò cña bµi to¸n 7 ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 9 : TÝnh
A = 13 + 23 + 33 + … + 1003
Gi¶i
Sö dông : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n
n3 = n + (n -
1)n(n + 1)
A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3
+ 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101
= (1 + 2 + 3 + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101)
= 5050 + 101989800 = 101994850
Thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c
c¬ sè ë bµi to¸n 8 ta cã bµi to¸n .
Bµi to¸n 10: TÝnh
A = 13
+ 33 + 53 + … + 993
Gi¶i : Sö dông (n - 2)n(n + 2) = n3
- 4n
n3 = (n -
2)n(n + 2) + 4n
A = 1 + 1.3.5 + 4.3 +
3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99
= 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + … + 99)
= 1 + 12487503 + 9996 = 12497500
Víi kho¶ng c¸ch lµ a ta t¸ch :
(n - a)n(n + a) = n3 - a2n.
ë bµi to¸n 8, 9 ta cã thÓ lµm nh
Thay ®æi sè mò cña mét thõa sè
trong bµi to¸n 1 ta cã:
Bµi to¸n 11: TÝnh
A = 1.22 + 2.32
+ 3.42 + … + 99.1002
Gi¶i :
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) +
3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1)
= 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100
= (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 +
3.4 + … + 99.100)
= 25164150
Víi c¸ch khai th¸c nh
Trong c¸c bµi to¸n trªn ta cã
thÓ thay ®æi sè h¹ng cuèi cïng cña d·y b»ng sè h¹ng tæng qu¸t theo quy luËt cña
d·y.
*VËn dông c¸ch gi¶i trªn h·y
gi¶i c¸c bµi to¸n sau:
1. TÝnh
A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+
50.50
2. TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ …+
97.101
3 TÝnh C =
1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101
4. TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51
5. TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73
+ … + 49.513
6. TÝnh F = 1.992 + 2.982 +
3.972 + … + 49.512
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét