Đề thi chọn Đội tuyển Tỉnh vòng II

PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ 

ĐỀ THI CHỌN ĐỔI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH  

NĂM HỌC 2013-2014 

Môn: Toán lớp 9 (vòng II) 

Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) 

Câu 1. (4đ) 

a) Tìm số nguyên dương a sao cho ${{a}^{1979}}+{{a}^{2014}}+1$ là số nguyên tố. 

b) Cho \[P=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)-abc\]
với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a+b+c\vdots 4$ thì $P\vdots 4$ 

 Câu 2. (5đ) 

a) Giải phương trình: $\left( \sqrt{x+5}-\sqrt{x+2} \right)\left( 1+\sqrt{{{x}^{2}}+7x+10} \right)=3$ 

 b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4x-2y-3 \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5 \\ \end{align} \right.$ 

 Câu 3. (5đ) 

a) Cho ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ 

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: \[S=\left( 2-x \right)\left( 2-y \right)\] 

b) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3$. 

Chứng minh rằng: $3\left( xy+yz+zx \right)-xyz\le 8$. 

Câu 4. (6đ) 

Cho điểm A di chuyển trên đường tròn(O), đường kính BC = 2R (A khác B, C). Lấy điểm M đối xứng với A qua B. Gọi H là hình chiếu của A trên BC và I là trung điểm của HC. Chứng minh rằng: 

a) M chuyển động trên một đường tròn cố định. 

b) AH.AI = CI.HM. 

c) MH vuông góc với AI. 

d) MH cắt đường tròn (O) tại E, F; AI cắt (O) tại G. Chứng minh rằng tổng bình phương độ dài các cạnh của tứ giác AEGF không đổi.